On local regularity estimates for fractional powers of parabolic operators with time-dependent measurable coefficients

Abstract

Abstract We consider fractional operators of the form $$\begin{aligned} {\mathcal {H}}^s=(\partial _t -\text {div}_{x} ( A(x,t)\nabla _{x}))^s,\ (x,t)\in {\mathbb {R}}^n\times {\mathbb {R}}, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mtext>div</mml:mtext> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $$s\in (0,1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and $$A=A(x,t)=\{A_{i,j}(x,t)\}_{i,j=1}^{n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> is an accretive, bounded, complex, measurable, $$n\times n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> -dimensional matrix valued function. We study the fractional operators $${{\mathcal {H}}}^s$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> and their relation to the initial value problem $$\begin{aligned} \begin{aligned} (\lambda ^{1-2s}\textrm{u}')'(\lambda )&amp;=\lambda ^{1-2s}{\mathcal {H}}\textrm{u}(\lambda ), \quad \lambda \in (0, \infty ), \\ \textrm{u}(0)&amp;= u, \end{aligned} \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mtext>u</mml:mtext> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mtext>u</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi>

Topics & Concepts