Multiple solutions for the nonlinear Choquard equation with even or odd nonlinearities

Abstract

Abstract We prove existence of infinitely many solutions $$u \in H^1_r({\mathbb {R}}^N)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for the nonlinear Choquard equation $$\begin{aligned} - {\varDelta } u + \mu u =(I_\alpha *F(u)) f(u) \quad \hbox {in}\ {\mathbb {R}}^N, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $$N\ge 3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , $$\alpha \in (0,N)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , $$I_\alpha (x) := \frac{{\varGamma }(\frac{N-\alpha }{2})}{{\varGamma }(\frac{\alpha }{2}) \pi ^{N/2} 2^\alpha } \frac{1}{|x|^{N- \alpha }}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> , $$x \in {\mathbb {R}}^N \setminus \{0\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is the Riesz potential, and F is an almost optimal subcritical nonlinearity, assumed odd or even. We analyze the two cases: $$\mu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:math> is a fixed positive constant or $$\mu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:math> is unknown and the $$L^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> -norm of the solution is prescribed, i.e. $$\int _{{\mathbb {R}}^N} |u|^2 =m&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow

Topics & Concepts