Quantitative Regularity for the Navier–Stokes Equations Via Spatial Concentration

Abstract

Abstract This paper is concerned with quantitative estimates for the Navier–Stokes equations. First we investigate the relation of quantitative bounds to the behavior of critical norms near a potential singularity with Type I bound $$\Vert u\Vert _{L^{\infty }_{t}L^{3,\infty }_{x}}\le M$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . Namely, we show that if $$T^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> is a first blow-up time and $$(0,T^*)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is a singular point then $$\begin{aligned} \Vert u(\cdot ,t)\Vert _{L^{3}(B_{0}(R))}\ge C(M)\log \Big (\frac{1}{T^*-t}\Big ),\,\,\,\,\,\,R=O((T^*-t)^{\frac{1}{2}-}). \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> We demonstrate that this potential blow-up rate is optimal for a certain class of potential non-zero backward discretely self-similar solutions. Second, we quantify the result of Seregin (Commun Math Phys 312(3):833–845, 2012), which says that if u is a smooth finite-energy solution to the Navier–Stokes equations on $${\mathbb {R}}^3\times (0,1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> with $$\begin{aligned} \sup _{n}\Vert u(\cdot ,t_{(n)})\Vert _{L^{3}({\mathbb {R}}^3)}&lt;\infty \,\,\,\text {and}\,\,\,t_{(n)}\uparrow 1, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo>sup</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>

Topics & Concepts