$$\varepsilon '/\varepsilon $$ in the Standard Model at the Dawn of the 2020s

Abstract

Abstract We reanalyse the ratio $$\varepsilon '/\varepsilon $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>ε</mml:mi></mml:mrow></mml:math> in the Standard Model (SM) using most recent hadronic matrix elements from the RBC-UKQCD collaboration in combination with most important NNLO QCD corrections to electroweak penguin contributions and the isospin-breaking corrections. We illustrate the importance of the latter by using their latest estimate from chiral perturbation theory (ChPT) based on the octet approximation for lowest-lying mesons and a very recent estimate in the nonet scheme that takes into account the contribution of $$\eta _0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>η</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub></mml:math> . We find $$(\varepsilon '/\varepsilon )^{(8)}_\text {SM} = (17.4 \pm 6.1) \times 10^{-4}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>SM</mml:mtext><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>8</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>17.4</mml:mn><mml:mo>±</mml:mo><mml:mn>6.1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math> and $$(\varepsilon '/\varepsilon )^{(9)}_\text {SM} = (13.9 \pm 5.2) \times 10^{-4}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>SM</mml:mtext><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>9</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>13.9</mml:mn><mml:mo>±</mml:mo><mml:mn>5.2</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math> , respectively. Despite a very good agreement with the measured value $$(\varepsilon '/\varepsilon )_\text {exp} = (16.6 \pm 2.3) \times 10^{-4}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>exp</mml:mtext></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>16.6</mml:mn><mml:mo>±</mml:mo><mml:mn>2.3</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math> , the large error in $$(\varepsilon '/\varepsilon )_\text {SM}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>SM</mml:mtext></mml:msub></mml:math> still leaves room for significant new physics (BSM) contributions to this ratio. We update the 2018 master formula for $$(\varepsilon '/\varepsilon )_\text {BSM}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>BSM</mml:mtext></mml:msub></mml:math> valid in any extension beyond the SM without additional light degrees of freedom. We provide new values of the penguin parameters $$B_6^{(1/2)}(\mu )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>6</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> and $$B_8^{(3/2)}(\mu )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>B</mml:mi><mml:mn>8</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> at the $$\mu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>μ</mml:mi></mml:math> -scales used by the RBC-UKQCD collaboration and at lower scales $$\mathcal {O}(1\, \text {GeV})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>O</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mspace/><mml:mtext>GeV</mml:mtext><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> used by ChPT and Dual QCD (DQCD). We present semi-analytic formulae for $$(\varepsilon '/\varepsilon )_\text {SM}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mtext>SM</mml:mtext></mml:msub></mml:math> in terms of these parameters and $$\hat{\Omega }_\text {eff}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mover><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>^</mml:mo></mml:mover><mml:mtext>eff</mml:mtext></mml:msub></mml:math> that summarizes isospin-breaking corrections to this ratio. We stress the importance of lattice calculations of the $$\mathcal {O}(\alpha _{\text {em}})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>O</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mtext>em</mml:mtext></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> contributions to the hadronic matrix elements necessary for the removal of renormalization scheme dependence at $$\mathcal {O}(\alpha _{\text {em}})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>O</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mtext>em</mml:mtext></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> in the present analyses of $$\varepsilon '/\varepsilon $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>/</mml:mo><mml:mi>ε</mml:mi></mml:mrow></mml:math> .

Topics & Concepts