Cesàro-like operators acting on spaces of analytic functions

Abstract

Abstract Let $${\mathbb {D}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:math> be the unit disc in $${\mathbb {C}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:math> . If $$\mu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:math> is a finite positive Borel measure on the interval [0, 1) and f is an analytic function in $${\mathbb {D}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:math> , $$f(z)=\sum _{n=0}^\infty a_nz^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> ( $$z\in {\mathbb {D}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> ), we define $$\begin{aligned} {\mathcal {C}}_\mu (f)(z)= \sum _{n=0}^\infty \mu _n\left( \sum _{k=0}^na_k\right) z^n,\quad z\in {\mathbb {D}}, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mfenced> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where, for $$n\ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , $$\mu _n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> denotes the n -th moment of the measure $$\mu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:math> , that is, $$\mu _n=\int _{[0, 1)}t^nd\mu (t).$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:m

Topics & Concepts