On New Unified Bounds for a Family of Functions via Fractional<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>-Calculus Theory
Li Xu, Yu‐Ming Chu, Saima Rashid, Ahmed A. El‐Deeb, Kottakkaran Sooppy Nisar
Abstract
The present article deals with the new estimates in<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>-calculus and fractional<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>-calculus on a time scale<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">T</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfenced open="{" close="}"><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>∪</mml:mo><mml:mfenced open="{" close="}"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mtext>is</mml:mtext><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mtext>a</mml:mtext><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mtext>nonnegative</mml:mtext><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mtext>integer</mml:mtext></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>,</mml:mo></mml:math>where<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>ℝ</mml:mi></mml:math>and<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:math>The role of fractional time scale<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>-calculus can be found as one of the prominent techniques to generate some variants for a class of positive functions<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"><mml:mi>n</mml:mi><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>ℕ</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>.</mml:mo></mml:math>Finally, our work will provide foundation and motivation for further investigation on time-fractional<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"><mml:mi>q</mml:mi></mml:math>-calculus systems that have an intriguing application in quantum theory and special relativity theory.