The Ground State Energy of a Two-Dimensional Bose Gas
Søren Fournais, Theotime Girardot, Lukas Junge, Léo Morin, Marco Olivieri
Abstract
Abstract We prove the following formula for the ground state energy density of a dilute Bose gas with density $$\rho $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ρ</mml:mi> </mml:math> in 2 dimensions in the thermodynamic limit $$\begin{aligned} e^{\text {2D}}(\rho ) = 4\pi \rho ^2 Y\Big (1 - Y \vert \log Y \vert + \Big ( 2\Gamma + \frac{1}{2} + \log (\pi ) \Big ) Y \Big ) + o(\rho ^2 Y^{2}), \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mtext>2D</mml:mtext> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> as $$\rho a^2 \rightarrow 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . Here $$Y= |\log (\rho a^2)|^{-1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and a is the scattering length of the two-body potential. This result in 2 dimensions corresponds to the famous Lee–Huang–Yang formula in 3 dimensions. The proof is valid for essentially all positive potentials with finite scattering length, in particular, it covers the crucial case of the hard core potential.