Existence of positive radial solution for Neumann problem on the Heisenberg group

Abstract

Abstract The existence of at least one positive radial solution of the Neumann problem $$ -\Delta _{\mathbb{H}^{n}} u+R(\xi ) u=a \bigl( \vert \xi \vert _{\mathbb{H}^{n}} \bigr) \vert u \vert ^{p-2} u - b\bigl( \vert \xi \vert _{\mathbb{H}^{n}}\bigr) \vert u \vert ^{q-2}u, $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:msup><mml:mi>H</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:msub><mml:mo>|</mml:mo><mml:msup><mml:mi>H</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:msup><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>b</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:msub><mml:mo>|</mml:mo><mml:msup><mml:mi>H</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:msup><mml:mo>|</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:math> is proved on the Heisenberg group $\mathbb{H}^{n}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>H</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:math> , via the variational principle, where $a(|\xi |_{\mathbb{H}^{n}})$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>H</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:math> , $b(|\xi |_{\mathbb{H}^{n}})$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>b</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>H</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:math> are nonnegative radial functions and $R(\xi )$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:math> satisfies suitable conditions.

Topics & Concepts