On the Spectrum of Hilbert Matrix Operator

Abstract

Abstract The Hilbert matrix $$\begin{aligned} {\mathcal {H}}_\lambda =\left( \frac{1}{n+m+\lambda }\right) _{n,m=0}^{\infty }, \quad \lambda \ne 0,-1,-2, \ldots \, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mspace/> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> generates a bounded linear operator in the Hardy spaces $$H^p$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> and in the $$l^p$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> -spaces. The aim of this paper is to study the spectrum of this operator in the spaces mentioned. In a sense, the presented investigation continues earlier works of various authors. More information concerning the history of the topic can be found in the introduction.

Topics & Concepts