A note on the stability of nonsurjective π-isometries of Banach spaces
Lixin Cheng, Yunbai Dong
Abstract
Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X comma upper Y"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X, Y</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be Banach spaces, and let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f colon upper X right-arrow upper Y"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> β </mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f: X\rightarrow Y</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be an <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon"> <mml:semantics> <mml:mi> Ξ΅ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varepsilon</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -isometry with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f left-parenthesis 0 right-parenthesis equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f(0)=0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for some <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon greater-than-or-equal-to 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> Ξ΅ </mml:mi> <mml:mo> β₯ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varepsilon \geq 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . In this paper, we show that for every <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x Superscript asterisk Baseline element-of upper X Superscript asterisk"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo> β </mml:mo> </mml:msup> <mml:mo> β </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo> β </mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x^*\in X^*</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , there exists <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi element-of upper Y Superscript asterisk"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> Ο </mml:mi> <mml:mo> β </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo> β </mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varphi \in Y^*</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-vertical-bar phi double-vertical-bar equals double-vertical-bar x Superscript asterisk Baseline double-vertical-bar identical-to r"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> β </mml:mo> <mml:mi> Ο </mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> β </mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> β </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo> β </mml:mo> </mml:msup> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> β </mml:mo> <mml:mo> β‘ </mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\|\varphi \|=\|x^*\|\equiv r</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue mathematical left-angle x Superscript asterisk Baseline comma x mathematical right-angle minus mathematical left-angle phi comma f left-parenthesis x right-parenthesis mathematical right-angle EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to 3 r epsilon comma for-all x element-of upper X period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> β¨ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo> β </mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> β© </mml:mo> <mml:mo> β </mml:mo>