Normalized solutions for fractional nonlinear scalar field equations via Lagrangian formulation

Abstract

Abstract We study existence of solutions for the fractional problem <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mfenced close="" open="{"> <mml:mrow> <mml:mtable class="aligned" columnspacing="1"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace class="nbsp" width="0.3333em"/> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>∫</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> where N ⩾ 2, s ∈ (0, 1), m &gt; 0, μ is an unknown Lagrange multiplier and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> satisfies Berestycki–Lions type conditions. Using a Lagrangian formulation of the problem ( P m ), we prove the existence of a weak solution with prescribed mass when g has L 2 subcritical growth. The approach relies on the construction of a minimax structure, by means of a Pohozaev ’ s mountain in a product space and some deformation arguments under a new version of the Palais–Smale condition introduced in Hirata and Tanaka (2019 Adv. Nonlinear Stud. 19 263–90); Ikoma and Tanaka (2019 Adv. Differ. Equ. 24 609–46). A multiplicity result of infinitely many normalized solutions is also obtained if g</jats:i

Topics & Concepts