Doubling the equatorial for the prescribed scalar curvature problem on $${{\mathbb {S}}}^N$$
Lipeng Duan, Monica Musso, Suting Wei
Abstract
Abstract We consider the prescribed scalar curvature problem on $$ {{\mathbb {S}}}^N $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> $$\begin{aligned} \Delta _{{{\mathbb {S}}}^N} v-\frac{N(N-2)}{2} v+{\tilde{K}}(y) v^{\frac{N+2}{N-2}}=0 \quad \text{ on } \ {{\mathbb {S}}}^N, \qquad v >0 \quad {\quad \hbox {in } }{{\mathbb {S}}}^N, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mtext>on</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> under the assumptions that the scalar curvature $${\tilde{K}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> is rotationally symmetric, and has a positive local maximum point between the poles. We prove the existence of infinitely many non-radial positive solutions, whose energy can be made arbitrarily large. These solutions are invariant under some non-trivial sub-group of O (3) obtained doubling the equatorial. We use the finite dimensional Lyapunov–Schmidt reduction method.