Différentielles abéliennes à singularités prescrites
Quentin Gendron, Guillaume Tahar
Abstract
Les invariants locaux d’une différentielle abélienne méromorphe sur une surface de Riemann de genre <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:math> sont les ordres des zéros et des pôles, et les résidus aux pôles. Le résultat principal de cet article est qu’à quelques exceptions près, chaque configuration d’ordres et de résidus peut être obtenue par une différentielle abélienne. Ces exceptions sont deux familles en genre <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math> où les ordres des pôles sont soit tous simples, soit tous non simples. De plus, nous montrons que chaque configuration de résidus peut être réalisée dans chaque composante connexe des strates. Enfin, nous donnons les conséquences de ces résultats en géométrie algébrique et plate. L’ingrédient principal de la preuve est la représentation plate des différentielles abéliennes.