On the critical Choquard-Kirchhoff problem on the Heisenberg group

Abstract

Abstract In this paper, we deal with the following critical Choquard-Kirchhoff problem on the Heisenberg group of the form: <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:mi>M</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mo>‖</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>‖</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">H</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>V</m:mi> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>ξ</m:mi> <m:mo>)</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mfenced open="(" close=")"> <m:mrow> <m:munder> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∫</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">H</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> </m:munder> <m:mfrac> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>η</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi>Q</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∗</m:mo> </m:mrow> </m:msubsup> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>η</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>ξ</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> </m:mfrac> <m:mi mathvariant="normal">d</m:mi> <m:mi>η</m:mi> </m:mrow> </m:mfenced> <m:mo>∣</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi>Q</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∗</m:mo> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>μ</m:mi> <m:mi>f</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>ξ</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:math> M\left(\Vert u{\Vert }^{2})\left(-{\Delta }_{{\mathbb{H}}}u\left+V\left(\xi )u)=\left(\mathop{\int }\limits_{{{\mathbb{H}}}^{N}}\frac{| u\left(\eta ){| }^{{Q}_{\lambda }^{\ast }}}{| {\eta }^{-1}\xi {| }^{\lambda }}{\rm{d}}\eta \right)| u{| }^{{Q}_{\lambda }^{\ast }-2}u+\mu f\left(\xi ,u), where <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>M</m:mi> </m:math> M is the Kirchhoff function, <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">H</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:math> {\Delta }_{{\mathbb{H}}} is the Kohn Laplacian on the Heisenberg group <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">H</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> </m:mrow> </m:msup> </m:math> {{\

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