Heavy-Quark expansion for $${{\bar{B}}_s\rightarrow D^{(*)}_s}$$ form factors and unitarity bounds beyond the $${SU(3)_F}$$ limit

Abstract

Abstract We carry out a comprehensive analysis of the full set of $${\bar{B}}_q \rightarrow D_q^{(*)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>q</mml:mi></mml:msub><mml:mo>→</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow/><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math> form factors for spectator quarks $$q=u,d,s$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:math> within the framework of the Heavy-Quark expansion (HQE) to order $${\mathcal {O}}\left( \alpha _s, 1/m_b, 1/m_c^2\right) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>O</mml:mi><mml:mfenced><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>b</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math> . In addition to the available lattice QCD calculations we make use of two new sets of theoretical constraints: we produce for the first time numerical predictions for the full set of $${\bar{B}}_s \rightarrow D_s^{(*)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub><mml:mo>→</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow/><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math> form factors using Light-Cone sum rules with $$B_s$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>B</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub></mml:math> -meson distribution amplitudes. Furthermore, we reassess the QCD three-point sum rule results for the Isgur-Wise functions entering all our form factors for both $$q=u,d$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:mrow></mml:math> and $$q=s$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:math> spectator quarks. These additional constraints allow us to go beyond the commonly used assumption of $$SU(3)_F$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>U</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>F</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math> symmetry for the $${{\bar{B}}}_s\rightarrow D_s^{(*)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub><mml:mo>→</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow/><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math> form factors, especially in the unitarity constraints which we impose throughout our analysis. We find the coefficients of the IW functions emerging at $${\mathcal {O}}\left( 1/m_c^2\right) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>O</mml:mi><mml:mfenced><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math> to be consistent with the naive $${\mathcal {O}}\left( 1\right) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>O</mml:mi><mml:mfenced><mml:mn>1</mml:mn></mml:mfenced></mml:mrow></mml:math> expectation, indicating a good convergence of the HQE. While we do not find significant SU (3) breaking, the explicit treatment of $$q=s$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi></mml:mrow></mml:math> as compared to a simple symmetry assumption renders the unitarity constraints more effective. We find that the (pseudo)scalar bounds are saturated to a large degree, which affects our theory predictions. We analyze the phenomenological consequences of our improved form factors by extracting $$|V_{cb}|$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>V</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>cb</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> from $${\bar{B}}\rightarrow D^{(*)}\ell \nu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mo>→</mml:mo><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow/><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>ℓ</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow></mml:math> decays and producing theoretical predictions for the lepton-flavour universality ratios R ( D ), $$R(D^*)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> , $$R(D_s)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> and $$R(D_s^*)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msubsup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> , as well as the $$\tau $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>τ</mml:mi></mml:math> - and $$D_q^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msubsup></mml:math> polarization fractions for the $${\bar{B}}_q\rightarrow D_q^{(*)}\tau \nu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mrow></mml:mover><mml:mi>q</mml:mi></mml:msub><mml:mo>→</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow/><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi></mml:mrow></mml:math> modes.

Topics & Concepts