Adams’ inequality with logarithmic weights in ℝ⁴
Maochun Zhu, Lianfang Wang
Abstract
Trudinger-Moser inequality with logarithmic weight was first established by Calanchi and Ruf [J. Differential Equations 258 (2015), pp. 1967–1989]. The aim of this paper is to address the higher order version; more precisely, we show the following inequality <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sup Underscript u element-of upper W Subscript 0 comma r a d Superscript 2 comma 2 Baseline left-parenthesis upper B comma omega right-parenthesis comma double-vertical-bar normal upper Delta u double-vertical-bar Subscript omega Baseline less-than-or-equal-to 1 Endscripts integral Underscript upper B Endscripts exp left-parenthesis alpha StartAbsoluteValue u EndAbsoluteValue Superscript StartFraction 2 Over 1 minus beta EndFraction Baseline right-parenthesis d x greater-than plus normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> ω </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo symmetric="true">‖</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi> ω </mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mo> ∫ </mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>exp</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi> β </mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} \sup _{u \in W_{0,rad}^{2,2}(B,\omega ),{{\left \| {\Delta u} \right \|}_\omega } \le 1} \int _B {\exp \left ( {\alpha {{\left | u \right |}^{\frac {2}{{1 - \beta }}}}} \right )} dx > + \infty \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> holds if and only if <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha less-than-or-equal-to alpha Subscript beta Baseline equals 4 left-bracket 8 pi squared left-parenthesis 1 minus beta right-parenthesis right-bracket Superscript StartFraction 1 Over 1 minus beta EndFraction Baseline comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi> α </mml:mi> <mml:mi> β </mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi> π </mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> −