Limit theorems in Wasserstein distance for empirical measures of diffusion processes on Riemannian manifolds

Abstract

Soit (M,ρ) une variété riemannienne compacte connexe sans bord, ou à bord convexe ∂M. Soit V∈C2(M) tel que μ(dx):=eV(x)dx est une mesure de probabilité, où dx est la mesure de volume. Soient {λi}i≥1 les valeurs propres non triviales de −L avec condition aux limites de Neumann si ∂M≠∅, où L:=Δ+∇V et Δ est l’opérateur de Laplace–Beltrami sur M. Alors les measures empiriques {μt}t>0 du processus engendré par L (avec réflexion au bord si ∂M≠∅) vérifient limt→∞{tEx[W2(μt,μ)2]}=∑i=1∞2 λi2uniformément en x∈M, où Ex est l’espérance par rapport au processus avec condition initiale x et W2 est la distance L2-Wasserstein associée à la métrique riemannienne de l’espace. La limite est finie si et seulement si d≤3 et dans ce cas on a limt→∞supx∈M|Px(tW2(μt,μ)2<a)−P(∑k=1∞2ξk2 λk2<a)|=0,a≥0, avec {ξk}k≥1 une suite de variables i.i.d. gaussiennes standard. De plus, Ex[W2(μt,μ)2]∼t−2d−2 si d≥5 et Ex[W 2(μt,μ)2]≤ct−1logt si d=4, avec c>0 et t suffisamment grand. Des estimations inférieures similaires sont établies si M=T4. Pour conclure, nous démontrons un principe de grandes déviations en temps long pour {W2(μt,μ)2}t≥0 avec une bonne fonction de taux donnée par l’information par rapport à μ.

Topics & Concepts