Finite-time blow-up and boundedness in a 2D Keller–Segel system with rotation
Yuxiang Li, Wanwan Wang
Abstract
Abstract This paper deals with the initial-boundary value problem for a Keller–Segel system with rotation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">{</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mtable columnalign="left left" columnspacing="1em" rowspacing="4pt"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∇</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>θ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">∇</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> with zero-flux boundary condition for u and zero-Neumann boundary condition for v , where Ω is a bounded domain in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> with smooth boundary <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>θ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>cos</mml:mi> <mml:mi>θ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>sin</mml:mi> <mml:mi>θ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>sin</mml:mi> <mml:mi>θ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>cos</mml:mi> <mml:mi>θ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is a rotation matrix with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> . We show that: Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> be a general smooth bounded domain. If <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>cos</mml:mo> <mml:mi>θ</mml: