Logarithmic corrections to O(a) and O($$a^2$$) effects in lattice QCD with Wilson or Ginsparg–Wilson quarks
Nikolai Husung
Abstract
Abstract We derive the asymptotic lattice spacing dependence $$a^n[2b_0\bar{g}^2(1/a)]^{\hat{\Gamma }_i}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> relevant for spectral quantities of lattice QCD, when using Wilson, $$\textrm{O}(a)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>O</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> improved Wilson or Ginsparg–Wilson quarks. We give some examples for the spectra encountered for $$\hat{\Gamma }_i$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> including the partially quenched case, mixed actions and using two different discretisations for dynamical quarks. This also includes maximally twisted mass QCD relying on automatic $$\textrm{O}(a)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>O</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> improvement. At $$\textrm{O}(a^2)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>O</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , all cases considered have $$\min _i\hat{\Gamma }_i\gtrsim -0.3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>min</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>≳</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>0.3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> if $$N_{\textrm{f}}\le 4$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mtext>f</mml:mtext> </mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , which ensures that the leading order lattice artifacts are not severely logarithmically enhanced in contrast to the O(3) non-linear sigma model (Balog et al. in Nucl Phys B 824:563–615, 2010; Balog et al. in Phys Lett B 676:188–192, 2009). However, we find a very dense spectrum of these leading powers, which may result in major pile-ups and cancellations. We present in detail the computational strategy employed to obtain the 1-loop anomalous dimensions already used in Husung et al. (Phys Lett B 829:137069, 2022).