Equivalent Parameter Conditions for the Validity of Half-Discrete Hilbert-Type Multiple Integral Inequality with Generalized Homogeneous Kernel

Abstract

Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"><mml:mi>G</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math> be a homogeneous nonnegative function of order <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mfenced open="‖" close="‖"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>G</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mfenced open="‖" close="‖"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>λ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math>. By using the weight coefficient method, the equivalent parameter conditions and best constant factors for the validity of the following half-discrete Hilbert-type multiple integral inequality <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>∫</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>ℝ</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup></mml:mrow></mml:msub><mml:mtext> </mml:mtext><mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>∑</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>∞</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mtext> </mml:mtext><mml:mi>K</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mfenced open="‖" close="‖"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:mfenced><mml:msub><mml:mrow><mml:mi>a</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mfenced open="(" close=")"><mml:mrow><mml:mi>x</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>M</mml:mi><mml:msub><mml:mrow><mml:mfenced open="‖" close="‖"><mml:mrow><mml:mover accent="true"><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo stretchy="true">~</mml:mo></mml:mover></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:msub><mml:mrow><mml:mfenced open="‖" close="‖"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math> are discussed. Finally, its applications in operator theory are discussed.

Topics & Concepts