On Foundational Discretization Barriers in STFT Phase Retrieval

Abstract

Abstract We prove that there exists no window function $$g \in {L^2(\mathbb {R})}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and no lattice $${\mathcal {L}} \subset \mathbb {R}^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> such that every $$f \in {L^2(\mathbb {R})}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is determined up to a global phase by spectrogram samples $$|V_gf({\mathcal {L}})|$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> where $$V_gf$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> denotes the short-time Fourier transform of f with respect to g . Consequently, the forward operator $$\begin{aligned} f \mapsto |V_gf({\mathcal {L}})| \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>↦</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> mapping a square-integrable function to its spectrogram samples on a lattice is never injective on the quotient space "Equation missing" with $$f \sim h$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∼</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> identifying two functions which agree up to a multiplicative constant of modulus one. We will further elaborate this result and point out that under mild conditions on the lattice $${\mathcal {L}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math> , functions which produce identical spectrogram samples but do not agree up to a unimodular constant can be chosen to be real-valued. The derived results highlight that in the discretization of the STFT phase retrieval problem from lattice measurements, a prior restriction of the underlying signal space to a proper subspace of $${L^2(\mathbb {R})}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is inevitable.

Topics & Concepts