Explicit zero-free regions for the Riemann zeta-function

Abstract

Abstract We prove that the Riemann zeta-function $$\zeta (\sigma + it)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>ζ</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> has no zeros in the region $$\sigma \ge 1 - 1/(55.241(\log |t|)^{2/3} (\log \log |t|)^{1/3})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>55.241</mml:mn><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>log</mml:mo><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>log</mml:mo><mml:mo>log</mml:mo><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> for $$|t|\ge 3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math> . In addition, we improve the constant in the classical zero-free region, showing that the zeta-function has no zeros in the region $$\sigma \ge 1 - 1/(5.558691\log |t|)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>5.558691</mml:mn><mml:mo>log</mml:mo><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> for $$|t|\ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math> . We also provide new bounds that are useful for intermediate values of $$|t|$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow></mml:math> . Combined, our results improve the largest known zero-free region within the critical strip for $$3\cdot 10^{12} \le |t|\le \exp (64.1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>·</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mn>12</mml:mn></mml:msup><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mo>exp</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>64.1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> and $$|t| \ge \exp (1000)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mo>exp</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1000</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> .

Topics & Concepts