Necessary and Sufficient Conditions for Oscillation of Solutions to Second-Order Neutral Differential Equations with Impulses

Abstract

Abstract In this work, necessary and sufficient conditions for oscillation of solutions of second-order neutral impulsive differential system <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>{</m:mo> <m:mrow> <m:mtable> <m:mtr> <m:mtd> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>r</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>t</m:mi> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mi>z</m:mi> <m:mo>′</m:mo> </m:msup> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>t</m:mi> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mi>γ</m:mi> </m:msup> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>′</m:mo> </m:msup> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>q</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>t</m:mi> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mi>α</m:mi> </m:msup> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>σ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mi>t</m:mi> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mn>0</m:mn> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> <m:mi> </m:mi> <m:mi> </m:mi> <m:mi> </m:mi> <m:mi>t</m:mi> <m:mo>≠</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> </m:mrow> <m:mi>k</m:mi> </m:msub> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd> <m:mrow> <m:mi>Δ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>r</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> </m:mrow> <m:mi>k</m:mi> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mi>z</m:mi> <m:mo>′</m:mo> </m:msup> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> </m:mrow> <m:mi>k</m:mi> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> <m:mi>γ</m:mi> </m:msup> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>h</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow>

Topics & Concepts