On the 𝐿^{𝑝} boundedness of the wave operators for fourth order Schrödinger operators

Abstract

We consider the fourth order Schrödinger operator <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H equals normal upper Delta squared plus upper V left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H=\Delta ^2+V(x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in three dimensions with real-valued potential <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V"> <mml:semantics> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">V</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H 0 equals normal upper Delta squared"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H_0=\Delta ^2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper V"> <mml:semantics> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">V</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> decays sufficiently and there are no eigenvalues or resonances in the absolutely continuous spectrum of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H"> <mml:semantics> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> then the wave operators <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper W Subscript plus-or-minus Baseline equals s reverse-solidus comma en-dash limit Underscript t right-arrow plus-or-minus normal infinity Endscripts e Superscript i t upper H Baseline e Superscript minus i t upper H 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> ± </mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mtext>\,–</mml:mtext> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mo> ± </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">W_{\pm }= s\text {\,–}\lim _{t\to \pm \infty } e^{itH}e^{-itH_0}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> extend to bounded operators on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Superscript p Baseline left-parenthesis double-struck upper R cubed right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L^p(\mathbb R^3)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 greater-than p greater-than normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1&gt;p&gt;\infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .

Topics & Concepts