Suppressing blow-up by gradient-dependent flux limitation in a planar Keller–Segel–Navier–Stokes system
Michael Winkler
Abstract
Abstract The flux-limited Keller–Segel–Navier–Stokes system $$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{lcl} n_t + u\cdot \nabla n &{}=&{} \Delta n - \nabla \cdot \Big ( n f(|\nabla c|^2) \nabla c\Big ), \\ c_t + u\cdot \nabla c &{}=&{} \Delta c - c + n, \\ u_t + (u\cdot \nabla ) u &{}=&{} \Delta u + \nabla P + n\nabla \Phi , \qquad \nabla \cdot u=0, \end{array} \right. \qquad \qquad (\star ) \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>=</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>=</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>=</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>Φ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>⋆</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> is considered in a smoothly bounded domain $$\Omega \subset {\mathbb {R}}^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . It is shown that whenever the suitably smooth function f models any asymptotically algebraic-type saturation of cross-diffusive fluxes in the sense that $$\begin{aligned} |f(\xi )| \le K_f\cdot (\xi +1)^{-\frac{\alpha }{2}} \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow>