CFT correlators and CP-violating trace anomalies

Abstract

Abstract We analyze the parity-odd correlators $$\langle JJO\rangle _{odd},$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>odd</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> $$\langle JJT\rangle _{odd},$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>odd</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> $$\langle TTO\rangle _{odd}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>odd</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> and $$\langle TTT\rangle _{odd}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>odd</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> in momentum space, constrained by conformal Ward identities, extending our former investigation of the parity-odd chiral anomaly vertex. We investigate how the presence of parity-odd trace anomalies affect such correlators. Motivations for this study come from holography, early universe cosmology and from a recent debate on the chiral trace anomaly of a Weyl fermion. In the current CFT analysis, O can be either a scalar or a pseudoscalar operator and it can be identified with the trace of the stress–energy tensor. We find that the $$\langle JJO\rangle _{odd}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>odd</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> and $$\langle TTO\rangle _{odd}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>odd</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> can be different from zero in a CFT. This occurs when the conformal dimension of the scalar operator is $$\Delta _3=4,$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> as in the case of $$O=T^{\mu }_{\mu }.$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> Moreover, if we assume the existence of parity-odd trace anomalies, the conformal $$\langle JJT\rangle _{odd}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>odd</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> and $$\langle TTT\rangle _{odd}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>odd</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> are nonzero. In particular, in the case of $$\langle JJT\rangle _{odd}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>odd</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> the transverse–traceless component is constrained to vanish, and the correlator is determined only by the trace part with the anomaly pole.

Topics & Concepts