Asymptotic behavior of solution curves of nonlocal one-dimensional elliptic equations

Abstract

Abstract We study the one-dimensional nonlocal elliptic equation $$\begin{aligned}&amp; -A\bigl( \bigl\Vert u' \bigr\Vert _{p}^{p} \bigr) u''(x) = \lambda B\bigl( \bigl\Vert u' \bigr\Vert _{q}^{q} \bigr)u(x)^{r} , \quad x \in I:= (0,1), u(x) &gt; 0, x \in I, \\&amp; u(0) = u(1) = 0, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>∥</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>∥</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>″</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>∥</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>∥</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> where $A = A(y)$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> and $B = B(y)$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> are continuous functions, satisfying $A(y) &gt; 0$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math> , $B(y) &gt; 0$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math> for $y &gt; 0$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math> , $p \ge 1$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> , $q \ge 1$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> , and $r &gt; 1$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> are given constants, and $\lambda &gt; 0$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math> is a bifurcation parameter. We establish the global behavior of solution curves and precise asymptotic formulas for $u_{\lambda}(x)$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> as $\lambda \to \infty $ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:math> .

Topics & Concepts