Normalized solutions of the autonomous Kirchhoff equation with Sobolev critical exponent: Sub- and super-critical cases
Quanqing Li, Vicenţiu D. Rădulescu, Jian Zhang, Xin Zhao
Abstract
In the present paper, we investigate the existence and multiplicity properties of the normalized solutions to the following Kirchhoff-type equation with Sobolev critical growth <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row with Label left-parenthesis upper P right-parenthesis EndLabel StartLayout Enlarged left-brace 1st Row 1st Column minus left-parenthesis a plus b integral Underscript double-struck upper R cubed Endscripts StartAbsoluteValue nabla u EndAbsoluteValue squared d x right-parenthesis normal upper Delta u plus lamda u equals mu StartAbsoluteValue u EndAbsoluteValue Superscript p minus 2 Baseline u plus StartAbsoluteValue u EndAbsoluteValue Superscript 4 Baseline u comma 2nd Column a m p semicolon in double-struck upper R cubed comma 2nd Row 1st Column u greater-than 0 comma integral Underscript double-struck upper R cubed Endscripts StartAbsoluteValue u EndAbsoluteValue squared d x equals c squared comma 2nd Column a m p semicolon in double-struck upper R cubed comma EndLayout EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mtable side="left" displaystyle="false"> <mml:mlabeledtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mtext>(</mml:mtext> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mtext>)</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:msub> <mml:mo> ∫ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ∇ </mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mtext>in </mml:mtext> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mo> ∫ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi>