Stabilization despite pervasive strong cross-degeneracies in a nonlinear diffusion model for migration–consumption interaction

Abstract

Abstract A no-flux initial-boundary value problem for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"><mml:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em" rowspacing="3pt"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mfenced close="" open="{"><mml:mtable columnalign="left left" columnspacing="1em" rowspacing=".1em"><mml:mtr><mml:mtd><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow><mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:msub><mml:mi>v</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mfenced><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>⋆</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math> is considered in smoothly bounded subdomains of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:math> with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math> and suitably regular initial data, where φ is assumed to reflect algebraic type cross-degeneracies by sharing essential features with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">↦</mml:mo><mml:msup><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi></mml:msup></mml:math> for some <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math> . Based on the discovery of a gradient structure acting at regularity levels mild enough to be consistent with degeneracy-driven limitations of smoothness information, in this general setting it is shown that with some measurable limit profile <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi></mml:msub></mml:math> and some null set <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>⋆</mml:mo></mml:msub><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> , a corresponding global generalized solution, known to exist according to recent literature, satisfies <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"><mml:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em" rowspacing="3pt"><mml:mtr><mml:mtd><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>⋅</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow><mml:mover><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">⇀</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>⋆</mml:mo></mml:mrow></mml:mover></mml:mrow><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow><mml:mtext>in </mml:mtext></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow><mml:mtext> and </mml:mtext></mml:mrow><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mo>⋅</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mrow><mml:mtext>in </mml:mtext></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow><mml:mtext>for all </mml:mtext></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math> as <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>∖</mml:mo><mml:msub><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>⋆</mml:mo></mml:msub><mml:mo>∋</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo stretchy="false">→</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi></mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>:=</mml:mo><mml:mfrac><mml:msup><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math> . In the particular case when either <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>⩽</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math> is arbitrary, or <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>⩾</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:math> , additional quantitative information on the deviation of trajectories from the initial data is derived. This is found to imply a lower estimate for the spatial oscillation of the respective first components throughout evolution, and moreover this is seen to entail that each of the uncountably many steady states <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>⋆</mml:mo></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><m

Topics & Concepts