Linear sets and MRD-codes arising from a class of scattered linearized polynomials

Abstract

Abstract A class of scattered linearized polynomials covering infinitely many field extensions is exhibited. More precisely, the q -polynomial over $${{\mathbb {F}}}_{q^6}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msup> </mml:msub> </mml:math> , $$q \equiv 1\pmod 4$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mspace/> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>mod</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> described in Bartoli et al. (ARS Math Contemp 19:125–145, 2020) and Zanella and Zullo (Discrete Math 343:111800, 2020) is generalized for any even $$n\ge 6$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> to an $${{{\mathbb {F}}}_q}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> -linear automorphism $$\psi (x)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> of $${{\mathbb {F}}}_{q^n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> </mml:math> of order n . Such $$\psi (x)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and some functional powers of it are proved to be scattered. In particular, this provides new maximum scattered linear sets of the projective line $${{\,\mathrm{{PG}}\,}}(1,q^n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mi>PG</mml:mi> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> for $$n=8,10$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>10</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . The polynomials described in this paper lead to a new infinite family of MRD-codes in $${{\mathbb {F}}}_q^{n\times n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> with minimum distance $$n-1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> for any odd q if $$n\equiv 0\pmod 4$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace/> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>mod</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and any $$q\equiv 1\pmod 4$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mspace/> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>mod</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> if $$n\equiv 2\pmod 4$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mspace/> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>mod</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> .

Topics & Concepts