Improved uniform error bounds of the time-splitting methods for the long-time (nonlinear) Schrödinger equation
Weizhu Bao, Yongyong Cai, Yue Feng
Abstract
We establish improved uniform error bounds for the time-splitting methods for the long-time dynamics of the Schrödinger equation with small potential and the nonlinear Schrödinger equation (NLSE) with weak nonlinearity. For the Schrödinger equation with small potential characterized by a dimensionless parameter <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon element-of left-parenthesis 0 comma 1 right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ε </mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varepsilon \in (0, 1]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , we employ the unitary flow property of the (second-order) time-splitting Fourier pseudospectral (TSFP) method in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L squared"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L^2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -norm to prove a uniform error bound at time <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="t Subscript epsilon Baseline equals t slash epsilon"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi> ε </mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi> ε </mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">t_\varepsilon =t/\varepsilon</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> as <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C left-parenthesis t right-parenthesis ModifyingAbove upper C With tilde left-parenthesis upper T right-parenthesis left-parenthesis h Superscript m Baseline plus tau squared right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo> ~ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi> τ </mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C(t)\widetilde {C}(T)(h^m +\tau ^2)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> up to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="t Subscript epsilon Baseline less-than-or-equal-to upper T Subscript epsilon Baseline equals upper T slash epsilon"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi> ε </mml:mi> </mml:msub> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi> ε </mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi> ε </mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">t_\varepsilon \leq T_\varepsilon = T/\varepsilon</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for any <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T>0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and uniformly for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon element-of left-parenthesis 0 comma 1 right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ε </mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varepsilon \in (0,1]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , while <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="h"> <mml:semantics> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">h</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the mesh size, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="tau"> <mml:semantics> <mml:mi> τ </mml:mi> <mml:annotation encoding="a