Spectral multipliers in group algebras and noncommutative Calderón-Zygmund theory

Abstract

In this paper we solve three problems in noncommutative harmonic analysis which are related to endpoint inequalities for singular integrals. In first place, we prove that an L2-form of Hörmander's kernel condition suffices for the weak type (1,1) of Calderón-Zygmund operators acting on matrix-valued functions. To that end, we introduce an improved CZ decomposition for martingale filtrations in von Neumann algebras, and apply a very simple unconventional argument which notably avoids pseudolocalization. In second place, we establish as well the weak L1 endpoint for matrix-valued CZ operators over nondoubling measures of polynomial growth, in the line of the work of Tolsa and Nazarov/Treil/Volberg. The above results are valid for other von Neumann algebras and solve in the positive two open problems formulated in 2009. An even more interesting problem is the lack of L1 endpoint inequalities for singular Fourier and Schur multipliers over nonabelian groups. Given a locally compact group G equipped with a conditionally negative length ψ:G→R+, we prove that Herz-Schur multipliers with symbol m∘ψ satisfying a Mikhlin condition in terms of the ψ-cocycle dimension are of weak type (1,1). Our result extends to Fourier multipliers for amenable groups and imposes sharp regularity conditions on the symbol. The proof crucially combines our new CZ methods with novel forms of recent transference techniques. This L1 endpoint gives a very much expected inequality which complements the L∞→BMO estimates proved in 2014 by Junge, Mei and Parcet. Dans ce papier, on résout trois problèmes d'analyse harmonique non-commutative qui sont liés aux inégalités limites pour les intégrales singulières. Premièrement, on démontre qu'une condition d'intégrabilité L2 de type Hörmander suffit pour obtenir l'inégalité de type (1,1) faible pour les opérateurs de Calderón-Zygmund agissant sur des fonctions à valeurs matricielles. Pour cela, on définit une décomposition de CZ améliorée pour des filtrations non-commutatives et on applique un argument non conventionnel mais simple qui permet notamment d'éviter l'usage de la pseudo-localisation. Par la suite, on établit le même type de résultat pour des mesures non doublantes à croissance polynomiale dans la lignée de travaux de Tolsa/Treil/Volberg. Les résultats ci-dessus restent vrais pour des fonctions à valeurs dans d'autres algèbres de von Neumann et répondent positivement à deux questions posées en 2009. Un problème plus intéressant encore est le manque d'inégalité limite dans L1 pour les multiplicateurs de Fourier et de Schur singuliers sur les groupes non-abéliens. Etant donné un groupe discret G équipé d'une longueur conditionnellement négative ψ:G→R+, on démontre que les multiplicateurs de Herz-Schur associés à un symbole de la forme m∘ψ satisfaisant une condition de Mikhlin en terme de la dimension de cocycle de ψ sont de type (1,1) faible. Ce résultat s'étend aux multiplicateurs de Fourier sur les groupes moyennables et fait intervenir des conditions de régularité optimales. La preuve combine de nouvelles techniques d'intégrales singulières et de transfert. Cette inégalité limite dans L1 donne un complément attendu aux résultats L∞→BMO obtenus pas Junge, Mei et Parcet en 2014.

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