$$\tau \rightarrow \mu \mu \mu $$ at a rate of one out of $$10^{14}$$ tau decays?

Abstract

Abstract We present in a full analytic form the partial widths for the lepton flavour violating decays $$\mu ^{\pm } \rightarrow e^{\pm } e^+ e^-$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>±</mml:mo></mml:msup><mml:mo>→</mml:mo><mml:msup><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>±</mml:mo></mml:msup><mml:msup><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:msup><mml:msup><mml:mi>e</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo></mml:msup></mml:mrow></mml:math> and $$\tau ^{\pm } \rightarrow \ell ^{\pm } \ell '^{+} \ell '^{-}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>±</mml:mo></mml:msup><mml:mo>→</mml:mo><mml:msup><mml:mi>ℓ</mml:mi><mml:mo>±</mml:mo></mml:msup><mml:msup><mml:mi>ℓ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mi>ℓ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo><mml:mo>-</mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math> , with $$\ell ,\ell '=\mu ,e$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>ℓ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>ℓ</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>μ</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>e</mml:mi></mml:mrow></mml:math> , mediated by neutrino oscillations in the one-loop diagrams. Compared to the first result by Petcov (Sov J Nucl Phys 25:340, 1977), obtained in the zero momentum limit $${\mathcal {P}}\ll m_{\nu } \ll M_W$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>≪</mml:mo><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi></mml:msub><mml:mo>≪</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>W</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math> , we retain full dependence on $${\mathcal {P}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>P</mml:mi></mml:math> , the momenta and masses of external particles, and we determine the branching ratios in the physical limit $$m_\nu \ll {\mathcal {P}} \ll M_W$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>ν</mml:mi></mml:msub><mml:mo>≪</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>≪</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>W</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math> . We show that the claim presented in Pham (Eur Phys J C8:513, 1999) that the $$\tau \rightarrow \ell \ell ' \ell '$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>ℓ</mml:mi><mml:msup><mml:mi>ℓ</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:msup><mml:mi>ℓ</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup></mml:mrow></mml:math> branching ratios could be as large as $$10^{-14}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>14</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:math> , as a consequence of keeping the $${\mathcal {P}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>P</mml:mi></mml:math> dependence, is flawed. We find rates of order $$10^{-55}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>55</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:math> , even smaller than those obtained in the zero momentum limit, as the latter prediction contains an unphysical logarithmic enhancement.

Topics & Concepts