The Case Against Smooth Null Infinity III: Early-Time Asymptotics for Higher $$\ell $$-Modes of Linear Waves on a Schwarzschild Background

Abstract

Abstract In this paper, we derive the early-time asymptotics for fixed-frequency solutions $$\phi _\ell $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> to the wave equation $$\Box _g \phi _\ell =0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>□</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> on a fixed Schwarzschild background ( $$M&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> ) arising from the no incoming radiation condition on $${\mathscr {I}}^-$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> and polynomially decaying data, $$r\phi _\ell \sim t^{-1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∼</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> as $$t\rightarrow -\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , on either a timelike boundary of constant area radius $$r&gt;2M$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> (I) or an ingoing null hypersurface (II) . In case (I) , we show that the asymptotic expansion of $$\partial _v(r\phi _\ell )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> along outgoing null hypersurfaces near spacelike infinity $$i^0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> contains logarithmic terms at order $$r^{-3-\ell }\log r$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . In contrast, in case (II) , we obtain that the asymptotic expansion of $$\partial _v(r\phi _\ell )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> near spacelike infinity $$i^0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> </

Topics & Concepts