Sharper bounds for the Chebyshev function 𝜃(𝑥)
Samuel Broadbent, Habiba Kadiri, Allysa Lumley, Nathan Ng, Kirsten Wilk
Abstract
In this article, we provide explicit bounds for the prime counting functions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="theta left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> θ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\theta (x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for all ranges of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x"> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . The bounds for the error term for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="theta left-parenthesis x right-parenthesis minus x"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> θ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\theta (x)- x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are of the shape <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon x"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ε </mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varepsilon x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartFraction c Subscript k Baseline x Over left-parenthesis log x right-parenthesis Superscript k Baseline EndFraction"> <mml:semantics> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\frac {c_k x}{(\log x)^k}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k equals 1 comma ellipsis comma 5"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k=1,\ldots ,5</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Tables of values for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="epsilon"> <mml:semantics> <mml:mi> ε </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varepsilon</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c Subscript k"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">c_k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are provided.