A New Analytic pdf for Simulations of Premixed Turbulent Combustion

Abstract

Abstract A new reaction rate source term $$\omega _m(c)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> for modelling of premixed combustion with a single progress variable c is proposed. $$\omega _m(c)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> mimics closely the Arrhenius source term $$\omega _A(c)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> for a large range of activation energies and density ratios while admitting analytic evaluation of many quantities of interest. The analytic flame profile $$c_m(\xi )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> very closely approximates the numerically integrated Arrhenius flame profiles $$c_A(\xi )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> . An important feature of $$c_m(\xi )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> is that it is analytically invertible into a $$\xi _m(c)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>ξ</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> . Analytic estimates of the laminar flame Eigenvalue $$\Lambda$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>Λ</mml:mi></mml:math> and of the Le dependence of the laminar flame speed $$s_L$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>s</mml:mi><mml:mi>L</mml:mi></mml:msub></mml:math> are derived, which are more accurate than classic results based on asymptotic analyses. The flamelet pdf $$p(c)=1/(\Delta *c*(1-c^m))$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mrow/><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mrow/><mml:mo>∗</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> for a flat laminar flame front in a LES cell of width $$\Delta$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>Δ</mml:mi></mml:math> is derived. The exact mean of the reaction rate $$\overline{\omega (c)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:math> is compared to a beta pdf result, which is shown to be inaccurate for large ratios of filter width to flame thickness $$\Delta /\delta _f$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:msub><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mi>f</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math> and particularly for high activation energy flames. For multidimensional flame wrinkling we derive the exact relationship $$p(c)=p_{1D}(c)I(c)\Xi (c)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>Ξ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> between the 3D pdf p ( c ), the 1D flat flame pdf $$p_{1D}(c)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>D</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> , a correction factor I ( c ) for change of inner flame structure and a geometrical wrinkling factor $$\Xi (c)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>Ξ</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> . We show that the c dependence of these quantities cannot be neglected for small $$\Delta /\delta _f$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:msub><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mi>f</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math> . A simple model of a sinusoidally wrinkled flame front qualitatively demonstrates the effect of flame wrinkling on p ( c ). We show that for large $$\Delta /\delta _f$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:msub><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mi>f</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math> , a wrinkling of the reaction zone almost constantly increases p ( c ) in the reaction zone by a wrinkling factor $$\Xi ^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>Ξ</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:math> (defined for the surface of the isosurface of maximum heat release) while reducing it near $$c=0,1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math> as required for normalisation of p ( c ). The 1D p ( c ) evaluated using a reduced filter width $$\Delta '=\Delta /\Xi ^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:mo>/</mml:mo><mml:msup><mml:mi>Ξ</mml:mi><mml:mo>∗</mml:mo></mml:msup></mml:mrow></mml:math> may be a good approximation of the wrinkled flame pdf for evaluation of $$\overline{\omega (c)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mover><mml:mrow><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>¯</mml:mo></mml:mover></mml:math> for such cases.

Topics & Concepts