Quantum chi-squared tomography and mutual information testing
Steven T. Flammia, Ryan O apos Donnell
Abstract
For quantum state tomography on rank-<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>r</mml:mi></mml:math> dimension-<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>d</mml:mi></mml:math> states, we show that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mover><mml:mi>O</mml:mi><mml:mo>&#x007E;</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>r</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mn>.5</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mn>1.5</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>/</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>&#x03F5;</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>&#x2264;</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mover><mml:mi>O</mml:mi><mml:mo>&#x007E;</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>d</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>/</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>&#x03F5;</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> copies suffice for accuracy <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>&#x03F5;</mml:mi></mml:math> with respect to (Bures) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>&#x03C7;</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:math>-divergence, and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mover><mml:mi>O</mml:mi><mml:mo>&#x007E;</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>/</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>&#x03F5;</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> copies suffice for accuracy <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>&#x03F5;</mml:mi></mml:math> with respect to quantum relative entropy. The best previous bound was <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mover><mml:mi>O</mml:mi><mml:mo>&#x007E;</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>/</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>&#x03F5;</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>&#x2264;</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mover><mml:mi>O</mml:mi><mml:mo>&#x007E;</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>d</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>/</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>&#x03F5;</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> with respect to infidelity; our results are an improvement since infidelity is bounded above by both the relative entropy and the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>&#x03C7;</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:math>-divergence. For algorithms that are required to use single-copy measurements, we show that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mover><mml:mi>O</mml:mi><mml:mo>&#x007E;</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>r</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mn>1.5</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mn>1.5</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>/</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>&#x03F5;</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mo>&#x2264;</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mover><mml:mi>O</mml:mi><mml:mo>&#x007E;</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>d</mml:mi><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>/</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>&#x03F5;</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> copies suffice for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>&#x03C7;</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:math>-divergence, and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mover><mml:mi>O</mml:mi><mml:mo>&#x007E;</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>r</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>/</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>&#x03F5;</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> suffice for relative entropy.Using this tomography algorithm, we show that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mover><mml:mi>O</mml:mi><mml:mo>&#x007E;</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mn>2.5</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>/</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>&#x03F5;</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math> copies of a <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>d</mml:mi><mml:mo>&#x00D7;</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi></mml:math>-dimensional bipartite state suffice to test if it has quantum mutual information <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>0</mml:mn></mml:math> or at least <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>&#x03F5;</mml:mi></mml:math>. As a corollary, we also improve the best known sample complexity for the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mi>s</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mi>c</mml:mi><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>l</mml:mi></mml:math> version of mutual information testing to <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mover><mml:mi>O</mml:mi><mml:mo>&#x007E;</mml:mo></mml:mover></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>d</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>/</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>&#x03F5;</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:math>.