Algebra of Dunkl Laplace–Runge–Lenz vector

Abstract

Abstract We introduce the Dunkl version of the Laplace–Runge–Lenz vector associated with a finite Coxeter group W acting geometrically in $$\mathbb R^N$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> and with a multiplicity function g . This vector generalizes the usual Laplace–Runge–Lenz vector and its components commute with the Dunkl–Coulomb Hamiltonian given as the Dunkl Laplacian with an additional Coulomb potential $$\gamma /r$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . We study the resulting symmetry algebra $$R_{g, \gamma }(W)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and show that it has the Poincaré–Birkhoff–Witt property. In the absence of a Coulomb potential, this symmetry algebra $$R_{g,0}(W)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is a subalgebra of the rational Cherednik algebra $$H_g(W)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . We show that a central quotient of the algebra $$R_{g, \gamma }(W)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is a quadratic algebra isomorphic to a central quotient of the corresponding Dunkl angular momenta algebra $$H_g^{so(N+1)}(W)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . This gives an interpretation of the algebra $$H_g^{so(N+1)}(W)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> as the hidden symmetry algebra of the Dunkl–Coulomb problem in $$\mathbb {R}^N$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> . By specialising $$R_{g, \gamma }(W)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> to $$g=0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , we recover a quotient of the universal enveloping algebra $$U(so(N+1))$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> as the hidden symmetry algebra of the Coulomb problem in $${\mathbb R}^N$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> . We also apply the Dunkl Laplace–Runge–Lenz vector to establish the maximal superintegrability of the generalised Calogero–Moser systems.

Topics & Concepts