The 𝑚=2 amplituhedron and the hypersimplex: Signs, clusters, tilings, Eulerian numbers

Abstract

The hypersimplex <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Delta Subscript k plus 1 comma n"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Delta _{k+1,n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the image of the positive Grassmannian <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G r Subscript k plus 1 comma n Superscript greater-than-or-equal-to 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Gr^{\geq 0}_{k+1,n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> under the moment map. It is a polytope of dimension <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n minus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n-1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R Superscript n"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {R}^n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Meanwhile, the amplituhedron <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper A Subscript n comma k comma 2 Baseline left-parenthesis upper Z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {A}_{n,k,2}(Z)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the projection of the positive Grassmannian <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G r Subscript k comma n Superscript greater-than-or-equal-to 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Gr^{\geq 0}_{k,n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> into the Grassmannian <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G r Subscript k comma k plus 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Gr_{k,k+2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> under a map <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Z overTilde"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> ~ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\tilde {Z}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> induced by a positive matrix <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Z element-of upper M a t Subscript n comma k plus 2 Superscript greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mro

Topics & Concepts