A note on the global existence and boundedness of an <i>N</i> -dimensional parabolic-elliptic predator-prey system with indirect pursuit-evasion interaction
Ling Liu
Abstract
Abstract We investigate the two-species chemotaxis predator-prey system given by the following system: <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:mfenced open="{" close=""> <m:mrow> <m:mtable displaystyle="true"> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>=</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>χ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>∇</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⋅</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo>∇</m:mo> </m:mrow> <m:mi>w</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>−</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>μ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>r</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>a</m:mi> <m:mi>v</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace width="0.33em"/> <m:mi>t</m:mi> <m:mo>></m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>v</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>=</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> <m:mi>v</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>ξ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>∇</m:mo> </m:mrow> <m:mo>⋅</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>v</m:mi> <m:mrow> <m:mo>∇</m:mo> </m:mrow> <m:mi>z</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>v</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>λ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>−</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>μ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>v</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>r</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>b</m:mi> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace width="0.33em"/> <m:mi>t</m:mi> <m:mo>></m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> </m:mtr>