Improving bounds on prime counting functions by partial verification of the Riemann hypothesis
Daniel R. Johnston
Abstract
Abstract Using a recent verification of the Riemann hypothesis up to height $$3\cdot 10^{12}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mn>12</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , we provide strong estimates on $$\pi (x)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and other prime counting functions for finite ranges of x . In particular, we get that $$|\pi (x)-li(x)|<\sqrt{x}\log x/8\pi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo><</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msqrt> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> for $$2657\le x\le 1.101\cdot 10^{26}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>2657</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>1.101</mml:mn> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mn>26</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . We also provide weaker bounds that hold for a wider range of x , and an application to an inequality of Ramanujan.