Korn inequalities for incompatible tensor fields in three space dimensions with conformally invariant dislocation energy

Abstract

Abstract Let $$\Omega \subset \mathbb {R}^3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>⊂</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn></mml:msup></mml:mrow></mml:math> be an open and bounded set with Lipschitz boundary and outward unit normal $$\nu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>ν</mml:mi></mml:math> . For $$1&lt;p&lt;\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>&lt;</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi></mml:mrow></mml:math> we establish an improved version of the generalized $$L^p$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup></mml:math> -Korn inequality for incompatible tensor fields P in the new Banach space $$\begin{aligned}&amp;W^{1,\,p,\,r}_0({{\,\mathrm{dev}\,}}{{\,\mathrm{sym}\,}}{{\,\mathrm{Curl}\,}}; \Omega ,\mathbb {R}^{3\times 3}) \\&amp;\quad = \{ P \in L^p(\Omega ; \mathbb {R}^{3 \times 3}) \mid {{\,\mathrm{dev}\,}}{{\,\mathrm{sym}\,}}{{\,\mathrm{Curl}\,}}P \in L^r(\Omega ; \mathbb {R}^{3 \times 3}),\ {{\,\mathrm{dev}\,}}{{\,\mathrm{sym}\,}}(P \times \nu ) = 0 \text { on }\partial \Omega \} \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd><mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>W</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace/><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace/><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>dev</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>sym</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>Curl</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>{</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∣</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>dev</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>sym</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>Curl</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>;</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace/><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>dev</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>sym</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:mi>ν</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mspace/><mml:mtext>on</mml:mtext><mml:mspace/><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> where $$\begin{aligned} r \in [1, \infty ), \qquad \frac{1}{r} \le \frac{1}{p} + \frac{1}{3}, \qquad r &gt;1 \quad \text {if }p = \frac{3}{2}. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace/><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>r</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mi>p</mml:mi></mml:mfrac><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>3</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace/><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mspace/><mml:mtext>if</mml:mtext><mml:mspace/><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>3</mml:mn><mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac><mml:mo>.</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> Specifically, there exists a constant $$c=c(p,\Omega ,r)&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> such that the inequality $$\begin{aligned} \Vert P \Vert _{L^p(\Omega ,\mathbb {R}^{3\times 3})}\le c\,\left( \Vert {{\,\mathrm{sym}\,}}P \Vert _{L^p(\Omega ,\mathbb {R}^{3\times 3})} + \Vert {{\,\mathrm{dev}\,}}{{\,\mathrm{sym}\,}}{{\,\mathrm{Curl}\,}}P \Vert _{L^{r}(\Omega ,\mathbb {R}^{3\times 3})}\right) \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>c</mml:mi><mml:mspace/><mml:mfenced><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>sym</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mrow><mml:mo>‖</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>dev</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>sym</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>Curl</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>‖</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>r</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:msub></mml:mfenced></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> holds for all tensor fields $$P\in W^{1,\,p, \, r}_0({{\,\mathrm{dev}\,}}{{\,\mathrm{sym}\,}}{{\,\mathrm{Curl}\,}}; \Omega ,\mathbb {R}^{3\times 3})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>W</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace/><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace/><mml:mi>r</mml:mi></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>dev</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>sym</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>Curl</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mo>;</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> . Here, $${{\,\mathrm{dev}\,}}X :=X -\frac{1}{3} {{\,\mathrm{tr}\,}}(X)\,{\mathbb {1}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>dev</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mfrac><mml:mn>1</mml:mn><mml:mn>3</mml:mn></mml:mfrac><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>tr</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace/><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math> denotes the deviatoric (trace-free) part of a $$3 \times 3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn></mml:mrow></mml:math> matrix X and the boundary condition is under

Topics & Concepts