Analytic solutions of Eliashberg gap equations at superconducting critical temperature

Abstract

Abstract We perform simple mathematical analysis of the Eliashberg gap equations, and derive the analytic expression at the superconducting critical temperature. In order to perform exact summation of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi mathvariant="script">L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mfenced close=")" open="("> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>∑</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced close="|" open="|"> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:math> we use the Einstein and Debye models for the Eliashberg spectral function. This quantity is in good agreement with data derived from experimental and DFT data. To the leading-term approximation, the analytic expression of the superconducting critical temperature is of the form <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>exp</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mfenced close="}" open="{"> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>*</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>ln</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mfenced close=")" open="("> <mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:math> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> or <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>ln</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:math> The frequencies <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>ω</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math

Topics & Concepts