Geometric bounds for the magnetic Neumann eigenvalues in the plane

Abstract

We consider the eigenvalues of the magnetic Laplacian on a bounded domain Ω of R2 with uniform magnetic field β>0 and magnetic Neumann boundary conditions. We find upper and lower bounds for the ground state energy λ1 and we provide semiclassical estimates in the spirit of Kröger for the first Riesz mean of the eigenvalues. We also discuss upper bounds for the first eigenvalue for non-constant magnetic fields β=β(x) on a simply connected domain in a Riemannian surface. In particular: we prove the upper bound λ1<β for a general plane domain for a constant magnetic field, and the upper bound λ1<maxx∈Ω‾⁡|β(x)| for a variable magnetic field when Ω is simply connected. For smooth domains, we prove a lower bound of λ1 depending only on the intensity of the magnetic field β and the rolling radius of the domain. The estimates on the Riesz mean imply an upper bound for the averages of the first k eigenvalues which is sharp when k→∞ and consists of the semiclassical limit 2πk|Ω| plus an oscillating term. We also construct several examples, showing the importance of the topology: in particular we show that an arbitrarily small tubular neighborhood of a generic simple closed curve has lowest eigenvalue bounded away from zero, contrary to the case of a simply connected domain of small area, for which λ1 is always small. On considère les valeurs propres du laplacien magnétique à courbure constante β>0 sur un domaine Ω de R2 avec les conditions de Neumann magnétiques au bord. On établit des bornes supérieures et inférieures pour la première valeur propre λ1 ainsi que des estimations semi-classiques dans l'esprit de Kröger pour la première moyenne de Riesz des valeurs propres. On discute également des bornes supérieures pour la première valeur propre pour des domaines simplement connexes d'une surface dans le cas où la courbure β=β(x) du champ magnétique n'est pas constante. En particulier : on obtient la borne supérieure λ1<β pour un domaine quelconque et un champ magnétique à courbure constante et la borne supérieure λ1<supx∈Ω⁡|β(x)| pour un champ magnétique à courbure variable lorsque le domaine Ω est simplement connexe. Pour des domaines lisses, on obtient une borne inférieure pour λ1 ne dépendant que de la courbure constante β du champ magnétique et du rayon de roulement du domaine. Les estimées sur la moyenne de Riesz impliquent une borne supérieure sur les moyennes des k premières valeurs propres qui est optimale lorsque k→∞ et consiste en la limite semi-classique 2πk|Ω| plus un terme oscillant. On construit également plusieurs exemples montrant l'importance de la topologie : en particulier, on montre qu'un voisinage tubulaire arbitrairement petit d'une courbe générique fermée simple a sa première valeur propre uniformément plus grande que zéro, contrairement au cas des domaines simplement connexes d'aire petite, pour lesquels λ1 est toujours petite.

Topics & Concepts