Minimal time issues for the observability of Grushin-type equations

Abstract

The goal of this article is to provide several sharp results on the minimal time required for observability of several Grushin-type equations. Namely, it is by now well-known that Grushin-type equations are degenerate parabolic equations for which some geometric conditions are needed to get observability properties, contrarily to the usual parabolic equations. Our results concern the Grushin operator <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> observed from the whole boundary in the multi-dimensional setting (meaning that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is a subset of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> </mml:msup> </mml:math> with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is a subset of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:msub> </mml:msup> </mml:math> with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , and the observation is done on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> ), from one lateral boundary in the one-dimensional setting (i.e. <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> ), including some generalized version of the form <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:msubsup> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> for suitable functions <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:math> , and the Heisenberg operator <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>z</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> observed from one lateral boundary. In all these cases, our approach strongly relies on the analysis of the family of equations obtained by using the Fourier expansion of the equations in the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:math> (or <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <m

Topics & Concepts