The sharp bound of the third Hankel determinant for functions of bounded turning
Bogumiła Kowalczyk, Adam Lecko
Abstract
Abstract We find the sharp bound for the third Hankel determinant $$\begin{aligned} H_{3,1}(f):= \left| {\begin{array}{*{20}c} {a_{1} } & {a_{2} } & {a_{3} } \\ {a_{2} } & {a_{3} } & {a_{4} } \\ {a_{3} } & {a_{4} } & {a_{5} } \\ \end{array} } \right| \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msub> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> for analytic functions f with $$a_n:=f^{(n)}(0)/n!,\ n\in \mathbb N,\ a_1:=1,$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>!</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> such that $$\begin{aligned} {{\,\mathrm{Re}\,}}f'(z)>0,\quad z\in \mathbb D:=\{z \in \mathbb C: |z|<1\}. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mi>Re</mml:mi> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math>