The existence of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>𝔽</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> -primitive points on curves using freeness

Abstract

Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>𝒞</mml:mi> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> be the cyclic group of order <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:math> a divisor of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:math> a divisor of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . We introduce the set of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -free elements of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>𝒞</mml:mi> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> and derive a lower bound for the number of elements <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>𝔽</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> for which <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -free and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> -free, where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>𝔽</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . As an application, we consider the existence of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>𝔽</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> -primitive points on curves like <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and find, in particular, all the odd prime powers <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:math> for which the elliptic curves <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> contain an <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>𝔽</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> -primitive point.

Topics & Concepts