Differential equations of even-order with p-Laplacian like operators: qualitative properties of the solutions

Abstract

Abstract In this paper, we study the oscillation of solutions for an even-order differential equation with middle term, driven by a p -Laplace differential operator of the form $$ \textstyle\begin{cases} ( r ( x ) \Phi _{p}[z^{ ( \kappa -1 ) } ( x ) ] ) ^{\prime }+a ( x ) \Phi _{p}[f ( z^{ ( \kappa -1 ) } ( x ) ) ]+ \sum_{i=1}^{j}q_{i} ( x ) \Phi _{p}[h ( z ( \delta _{i} ( x ) ) ) ]=0, \\ \quad j\geq 1, r ( x ) &gt;0, r^{\prime } ( x ) +a ( x ) \geq 0, x\geq x_{0}&gt;0. \end{cases}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Φ</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo>[</mml:mo><mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>]</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Φ</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo>[</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>κ</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>]</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:msub><mml:mi>Φ</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:mo>[</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>δ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>]</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mspace/><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:msup><mml:mi>r</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>a</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>.</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> The oscillation criteria for these equations have been obtained. Furthermore, an example is given to illustrate the criteria.

Topics & Concepts