Fixed point problems for generalized contractions with applications

Abstract

Abstract In this paper, we investigate the conditions on the control mappings $\psi ,\varphi :(0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:math> that guarantee the existence of the fixed points of the mapping $T:X\rightarrow P(X)$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> satisfying the following inequalities: $$ \psi \bigl(H(Tx,Ty)\bigr)\leq \varphi \bigl(d(x,y)\bigr) \quad \forall x,y\in X, \text{provided that } H(Tx,Ty)&gt;0, $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mi>∀</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mtext>provided that </mml:mtext> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:math> and $$ \psi \bigl(H(Tx,Ty)\bigr)\leq \varphi \bigl(A(x,y)\bigr) \quad \forall x,y\in X, \text{provided that } H(Tx,Ty)&gt;0, $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mi>∀</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mtext>provided that </mml:mtext> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:math> where $A(x,y)=\max \{ d(x,y), d(x,Tx), d(y,Ty), (d(x,Ty) +d(Tx,y))/2 \} $ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>max</mml:mo> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:math> , and $(X, d)$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> is a metric space. The obtained fixed point results improve many earlier results on the set-valued contractions. As an application, we consider the existence of the solutions of an FDE.

Topics & Concepts