Joint ergodicity of Hardy field sequences

Abstract

We study mean convergence of multiple ergodic averages, where the iterates arise from smooth functions of polynomial growth that belong to a Hardy field. Our results include all logarithmico-exponential functions of polynomial growth, such as the functions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="t Superscript 3 slash 2 Baseline comma t log t"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">t^{3/2}, t\log t</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="e Superscript StartRoot log t EndRoot"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msqrt> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">e^{\sqrt {\log t}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We show that if all non-trivial linear combinations of the functions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a 1"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a_1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , …, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a Subscript k"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a_k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> stay logarithmically away from rational polynomials, then the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L squared"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L^2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -limit of the ergodic averages <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartFraction 1 Over upper N EndFraction sigma-summation Underscript n equals 1 Overscript upper N Endscripts f 1 left-parenthesis upper T Superscript left floor a 1 left-parenthesis n right-parenthesis right floor Baseline x right-parenthesis dot midline-horizontal-ellipsis dot f Subscript k Baseline left-parenthesis upper T Superscript left floor a Super Subscript k Superscript left-parenthesis n right-parenthesis right floor Baseline x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:munderover> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ⌊ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ⌋ </mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ⋅ </mml:mo> <mml:mo> ⋯ </mml:mo> <mml:mo> ⋅ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ⌊ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ⌋ </mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\frac {1}{N} \sum _{n=1}^{N}f_1(T^{\lfloor {a_1(n)}\rfloor }x)\cdot \dots \cdot f_k(T^{\lfloor {a_k(n)}\rfloor }x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> exists and is equal to the product of the integrals of the functions

Topics & Concepts